截面的认识

一．概念描述

现代数学：截面有很多种，其定义主要如下。

几何体的截面定义：截面是与几何体有关的一种平面图形，即一个平面与一个几何体相交所得到的平面图形。

中截面定义：一种特殊的截面，指在有两平行底面（其中一面或者两面可以退化为点或线段）而其余面夹在两平行底面之间的有限几何体中，平行于底面且与两底面等距的截面。

截面定义：物体切断后呈现出来的表面。如球体的剖面是个圆形，也叫截面。

柱的直截面定义：一种与柱体有关的截面。用垂直于柱体母线的平面去截柱体，如果截面与柱体的所有母线（或侧棱）都相交，那么截线所围成的平面图形，称为柱的直截面。

正棱柱的轴向截面定义：一种与正棱柱有关的截面。通过正棱柱的轴的截面，称为此正棱柱的轴向截面或者轴截面，正棱柱的轴截面都是矩形。

小学数学：截面在现行的小学数学教材中没有明确的定义。究竟什么是横截面，截面的形状与什么有关，教材中没有说明，教学参考书中也没有提到。只是在学习梯形面积时提到过横截面，长方体和正方体、圆柱、圆锥的课后练习中有相关习题。例如“把圆柱、圆锥切成两个部分，截面分别是什么形状？”，对截面的相关知识稍有接触。具体如下：

①　如图，将下面的圆柱切成两部分，切开后的截面各是什么形状？请连一连。

②　如图，将下面的圆锥切成两部分，切开后的截面各是什么形状？请连一连。

二．概念解读

对立体图形的截面，各个版本小学教材均没有安排具体的课时。截面在小学阶段一般是指去切割一个几何体，得到的平面图形叫截面。这个截面可能是圆、椭圆，也可能是三角形、四边形、六边形或其他图形等。

首先，截面包括横截面、竖截面、平截面、直截面、斜截面。横截面是截面的一种。小学阶段提到最多的是横截面，一般是指平行于底面去截。例如圆柱、圆锥的横截面，一般是圆形的。再如长方体的横截面一般是矩形。实际问题中，江河、水库的堤坝的横截面一般可以看成是梯形。其次，同一个几何体被截后的截面形状与所截角度有关。若角度不同，截面形状也会随之变化。

三．教学建议

学生在学习本课前，已经掌握了长方体、正方体、圆柱、圆锥和球等常见的几何体特征，掌握了点、线、面、体四者之间的动态与静态的关系。教师可设计一系列的数学活动，引领学生在活动中深入思考，经历和体会到截面的深刻含义。

(1)数学活动1：切实物，引出截面

教师引导学生：可以把一个苹果、 一个长方体面包、 一根圆往体的萝卜切一刀，这个刚出现的而就叫截面：同时将截面覆盖在纸上描画出截面的平面图形。学生在切的过程中可以直观地看到截面有可能是圆形、正方形、长方形或是其他图形，同时可以直观地发现切一刀增加两个完全一样的截面。

(2)数学活动2：切正方体，体会同一个几何体不同截法（横切、纵切和斜切）形成的不同截面

给以小组为单位学生发切好的正方体土豆块，每组若干个，然后提问：如果任意截这个正方体，切开后截面的形状会是怎样的呢？先想象一下截面的形状，再动手切实物，验证猜想，并比一比看哪个组得到的截面形状多。

截一个正方体，截面可能是：三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形（如下图），不能截出七边形，因为正方体只有六个面。整个活动过程中，教师要参与其中，适时进行点拨与指导，及时给予鼓励。

(3)数学活动3:理解截同一个几何体所截角度不同，截面形状也会随之变化

教师提问：我们都是在切割同一个正方体，为什么切割后得到的截面图形的形状不一样呢？教师借助动态课件有序地演示不同的切法，引导学生发现：从不同的角度切一个正方体，得到的截面可以是不同形状的平面图形，平面图形的边数由截面经过的正方体表面的面数决定。如三边形的截面就是因为截面经过了正方体的三个表面形成的，四边形、五边形、六边形截面的获得同理。由此得出结论：正方体的截面可以是三边形到六边形不等。五边形、六边形截面的形成在想象和操作上都有困难，此时动态课件的演示有利于学生表象的积累和空间想象能力的发展。通过学生的亲自操作、教师动态课件的演示、数学的思考和分析，学生就会发现：从正方体不同表面下刀去切，可以得到不同形状的截面。

(4)数学活动4：截一个学过的几何体

该活动旨在引导学生深入理解截同一个几何体所截角度不同，截面形状会不同。对不同的几何体，即使截法相同，也会得到不同的图形。

具体操作中，教师可提问：我们还学习过很多立体图形呢。想一想，如果从不同的部位或不同的方向切圆柱、圆锥、棱柱、球，截面分别是什么形状的呢？请同学们展开想象，把想象出来的截面图形画在纸上，并与同伴交流，看你们的想法一样吗？教师演示动态课件，借助于运动的画面，形象直观地使学生进一步体会到几何体在切截过程中的变化情况。（如下图）

最后教师可以用下表进行小结：

教师还可进行课外延伸，提出截一个几何体的知识在实际生活当中作用很大。

课件演示：播放医学上发明CT的视频文件，让学生体会数学知识在现实生活当中的应用。

四．推荐阅读

(1)《数学·七年级上册》（马复，北京师范大学出版社，2012）

该书第一章《丰富的图形世界》第三节《截一个几何体》的教学安排，能帮助教师在动态的教学中引导学生深刻理解截面。

(z)《数学辞海·第一卷》(裘光明，山西教育出版社，2002)

该书第一卷第217-259页的立体几何部分，对可以怎样截一个几何体及棱柱、圆柱、圆锥、圆台、球的截法和截面形状均有详细的描述。